Sierpinski/Riesel Base 5/Beweis

Hier seht ihr den Beweis dafür, dass 159986*5^n+1 auf der Sierpinski-Seite und 346802*5^n-1 auf der Riesel-Seite für jedes natürliche n zusammengesetzt sind. Zum Verständnis braucht man nur Kongruenzen, also das Rechnen mit Rest. Ein recht analoger Beweis für die Sierpinksi Zahl 78557 findet sich auf teamprimerib.com.

Beweis

Sierpinski-Seite

Der Beweis erfolgt modulo 12. Das heißt es gibt nur 12 Werte für n zu betrachten, die sich in 6 Fällen abchecken lassen.

Für n mod 12 gibt es nur 12 verschiedene Werte. Diese decken alle natürlichen Zahlen n ab.

n mod 12	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Fall	A	B	A	B	A	C	A	D	A	B	A	E
Teiler	3	601	3	7	3	31	3	13	3	7	3	13

Fall A

Für n gerade, also n = 0 mod 2 hat 159986*5^n-1 immer den Teiler 3

159986*5^(2k)-1 = 2 * 25^k + 1 = 2*1^k+1 = 3 = 0 mod 3, da gilt 159986 = 2 mod 3 und 4 = 1 mod 3. Es entsteht also kein Rest bei Divison durch 3. 3 teilt also 159986*2^n+1.

Fall B

Für n=1 mod 12 folgt 601 ist Teiler

159986 * 5^(12*k+1) + 1 = 159986 * (5^12)^k * 5 + 1 = 120 * 1^k * 5 + 1=601=0 mod 601

Fall C

Für n=3 mod 6, also n=3 oder 9 mod 12 folgt 7 ist Teiler

159986 * 5^(6*k+3) + 1 =159986 * (5^6)^k * 5^3 + 1 = 1*1^k*6+1 = 7 = 0 mod 13

Fall D

Für n=5 mod 12 folgt 31 ist Teiler

159986 * 5^(12*k+5) + 1 = 159986 * (5^12)^k * 5^5 + 1 = 26*1^k*25+1= 651 = 0 mod 31

Fall E

Aus n=7 mod 12 folgt 13 ist Teiler

159986 * 5^(12*k+7) + 1 = 159986 * (5^12)^k * 5^7 + 1 = 8 * 1^k * 8 + 1 = 65 = 0 mod 13

Fall F

Aus n=11 mod 12 folgt 13 ist Teiler

159986 * 5^(12*k+11) + 1 = 159986 * (5^12)^k * 5^11 + 1 = 8 * 1^k * 8 + 1 = 65 = 0 mod 13

Diese Fälle reichen aus um alle natürlichen Zahlen n abzudecken.

Riesel-Seite

Der Beweis erfolgt auch modulo 12. Die 12 möglichen Werte für n mod 12 reduzieren sich auf 6 Fälle.

n mod 12	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Fall	B	A	C	A	D	A	B	A	E	A	F	A
Teiler	7	3	31	3	13	3	7	3	13	3	601	3

Fall A

Für n ungerade, also n = 1 mod 2 hat 346802*5^n-1 immer den Teiler 3

346802*5^(2k+1)-1 = 346802 * 25^k *5 - 1 = 2*1^k*2-1 = 3 = 0 mod 3

Fall B

Für n=0 mod 6 (also n=0,6 mod 12) folgt 7 ist Teiler

346802 * 5^(6*k) - 1 = 346802 * (5^6)^k - 1 = 1 * 1^k - 1=0 mod 7

Fall C

Für n=2 mod 12 folgt 31 ist Teiler

346802 * 5^(12*k+2) - 1 =346802 * (5^12)^k * 5^2 - 1 = 5*1^k*25-1 = 124 = 0 mod 31

Fall D

Für n=4 mod 12 folgt 13 ist Teiler

346802 * 5^(12*k+4) - 1 = 346802 * (5^12)^k * 5^4 - 1 = 1*1^k*1-1= 0 mod 13

Fall E

Aus n=8 mod 12 folgt 13 ist Teiler

346802 * 5^(12*k+8) - 1 = 346802 * (5^12)^k * 5^8 - 1 = 1 * 1^k * 1 - 1 = 0 mod 13

Fall F

Aus n=10 mod 12 folgt 601 ist Teiler

346802 * 5^(12*k+10) - 1 = 346802 * (5^12)^k * 5^10 - 1 = 25 * 1^k * 577 - 1 = 14424 = 0 mod 601

Diese Fälle reichen aus um alle natürlichen Zahlen n abzudecken.

Bemerkung

Eine berechtigte Frage wäre jetzt, warum man nicht einfach einen Beweis dieser Art für eine oder alle der verbleibenden k-Werte zusammenbaut. Das würde das aufwendige Testen der ganzen Zahlen überflüssig machen, da man dann auch ohne eine Primzahl zu finden zeigen kann, dass ein k-Werte eine Riesel Zahl ist. Man hat natürlich sowas versucht, aber falls es einen solchen Beweis geben sollte, ist er ungleich schwerer. Für jedes beliebige n hat man hier bei Probedivision bis 241 einen Faktor gefunden. Bei den übrigen k-Werten ist das nicht so einfach. Es ist allerdings nicht ausgeschlossen, dass in Zukunft plötzlich so ein Beweis entwickelt wird.